Lição

Bem-vindo(a) à Álgebra II: Uma Revisão dos Conceitos de Álgebra I

Antes de mergulharmos nas complexidades da Álgebra II, vamos dedicar um tempo para atualizar nossa compreensão dos conceitos fundamentais aprendidos em Álgebra I. Esta revisão garantirá uma base sólida sobre a qual podemos construir habilidades algébricas mais avançadas. Revisaremos equações lineares, desigualdades e funções - os blocos de construção da álgebra.

Equações Lineares: O Básico

Equações lineares são equações que podem ser escritas na forma \( ax+b=c \) , onde \( a \) , \( b \) e \( c \) são constantes e \( x \) é a variável. Resolver uma equação linear envolve isolar a variável para encontrar seu valor. Lembre-se do princípio fundamental: qualquer operação que você realizar em um lado da equação, você deve realizar no outro lado para manter a igualdade.

Resolvendo Equações Lineares: Uma Abordagem Passo a Passo

Aqui está uma estratégia geral para resolver equações lineares:

1. Simplifique: Combine termos semelhantes em ambos os lados da equação.
2. Isole o termo variável: Use adição ou subtração para obter o termo com a variável sozinho de um lado.
3. Resolva para a variável: Use multiplicação ou divisão para isolar a variável e encontrar seu valor.

Por exemplo, vamos resolver a equação \( 2x+3=7 \) :

1. Subtraia 3 de ambos os lados: \( 2x=4 \)
2. Divida ambos os lados por 2: \( x=2 \)

Desigualdades Lineares: Além da Igualdade

Desigualdades lineares são semelhantes às equações lineares, mas em vez de um sinal de igual, elas usam símbolos de desigualdade como \( < \) (menor que), \( > \) (maior que), \( \leq \) (menor ou igual a) ou \( \geq \) (maior ou igual a). Resolver desigualdades é muito semelhante a resolver equações, com uma exceção importante: quando você multiplica ou divide ambos os lados por um número negativo, você deve inverter o sinal da desigualdade.

Resolvendo Desigualdades Lineares: Principais Diferenças

Considere a desigualdade \( -3x<9 \) . Para resolver para \( x \) , dividimos ambos os lados por -3. Como estamos dividindo por um número negativo, devemos inverter o sinal da desigualdade, resultando em \( x>-3 \) .

A solução para uma desigualdade é uma gama de valores, não apenas um único valor. Podemos representar essa gama em uma reta numérica. Um círculo fechado indica que o ponto final está incluído na solução (para \( \leq \) ou \( \geq \) ), enquanto um círculo aberto indica que o ponto final não está incluído (para \( < \) ou \( > \) ).

Graficando Equações Lineares

Equações lineares podem ser representadas graficamente como linhas retas no plano cartesiano. A forma padrão de uma equação linear é \( y=mx+b \) , onde \( m \) representa a inclinação da linha e \( b \) representa o intercepto y (o ponto onde a linha cruza o eixo y). A inclinação \( m \) descreve a inclinação e a direção da linha. É calculado como a "elevação sobre o deslocamento", ou a mudança em \( y \) dividido pela mudança em \( x \) .

Forma Declive-Interseção

A forma declive-interseção, \( y=mx+b \) , torna mais fácil representar graficamente uma equação linear. Comece plotando o intercepto y \( (0,b) \) . Em seguida, use a inclinação \( m \) para encontrar outro ponto na linha. Por exemplo, se \( m=2/3 \) , mova 2 unidades para cima e 3 unidades para a direita a partir do intercepto y. Desenhe uma linha através desses dois pontos para representar graficamente a equação.

Funções: Relações Entre Variáveis

Uma função é uma relação entre dois conjuntos de elementos, chamados de domínio e imagem. Para cada elemento no domínio, existe exatamente um elemento correspondente na imagem. Frequentemente, representamos funções usando a notação \( f(x) \) , onde \( x \) é a entrada (um elemento do domínio) e \( f(x) \) é a saída (o elemento correspondente na imagem). \( f(x) \) é lido como "f de x".

Notação de Função

Para a função \( f(x)=3x+2 \) , se quisermos encontrar o valor da função quando \( x=4 \) , substituímos 4 por \( x \) na equação: \( f(4)=3(4)+2=14 \) . Portanto, \( f(4)=14 \) . Isso significa que quando a entrada é 4, a saída é 14.

Domínio e Imagem

O domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada (valores de x), enquanto a imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de saída (valores de y). Por exemplo, para a função \( f(x)=\sqrt{x} \) , o domínio é todos os números reais não negativos (já que não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo), e a imagem também é todos os números reais não negativos.

Funções Lineares

Uma função linear é uma função cujo gráfico é uma linha reta. Ela pode ser escrita na forma \( f(x)=mx+b \) , onde \( m \) é a inclinação e \( b \) é o intercepto y. Funções lineares têm uma taxa de variação constante, o que significa que a inclinação é a mesma entre quaisquer dois pontos na linha.

Identificando Funções Lineares

Para determinar se uma função é linear, verifique se a taxa de variação entre quaisquer dois pontos é constante. Se a taxa de variação é constante, a função é linear. Se a taxa de variação varia, então a função é não linear.