Урок

Введение в функции

В математике функция - это фундаментальное понятие, описывающее взаимосвязь между двумя множествами. Представьте ее как машину: вы вводите что-то, и функция обрабатывает это, чтобы получить уникальный результат. Понимание функций имеет решающее значение для успеха в подготовке к математическому анализу и за его пределами.

Что такое функция?

Формально функция - это отношение между множеством входных данных (называемым областью определения) и множеством допустимых выходных данных (называемым областью значений) со свойством, что каждому входному значению соответствует ровно одно выходное значение. Это соответствие "один к одному" или "многие к одному" - вот что отличает функцию от более общего отношения.

Область определения и область значений

Область определения функции - это множество всех возможных входных значений (часто обозначается как $x$ ), для которых функция определена. Проще говоря, это все значения, которые вам разрешено подставлять в функцию.

Область значений функции - это множество всех возможных выходных значений (часто обозначается как $y$ или $f(x)$ ), которые функция может произвести. Это набор всех результатов, которые вы получаете после подстановки всех допустимых входных значений из области определения.

Определение области определения

Нахождение области определения часто включает в себя поиск ограничений. Общие ограничения включают в себя:

• Деление на ноль: Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
• Квадратные корни из отрицательных чисел: Вы не можете извлечь квадратный корень из отрицательного числа (в системе действительных чисел).
• Логарифмы неотрицательных чисел: Вы можете брать логарифм только от положительных чисел.

Например, рассмотрим функцию $f(x)=\frac{1}{x-2}$ . Область определения - все действительные числа, кроме $x=2$ , потому что подстановка 2 приведет к делению на ноль. Мы можем записать это как $x\ne 2$ .

Определение области значений

Нахождение области значений может быть немного сложнее, чем нахождение области определения. Это часто включает в себя анализ поведения функции, рассмотрение ее графика и иногда использование алгебраических методов для решения $x$ через $y$ . Например, если $f(x)=x^2$ , область значений - все неотрицательные действительные числа, потому что возведение любого действительного числа в квадрат всегда приведет к значению, большему или равному нулю.

Визуализация области определения и области значений с помощью графика

Графики - мощный инструмент для понимания области определения и области значений. Область определения - это множество всех $x$ -значений, которые охватывает график, а область значений - это множество всех $y$ -значений, которые охватывает график. Глядя на график, вы можете быстро определить любые ограничения на входные или выходные значения.

Типы функций

Существует много различных типов функций, каждая со своими уникальными свойствами и характеристиками. Вот несколько распространенных типов:

• Линейные функции: Функции вида $f(x)=mx+b$ , где $m$ - это наклон, а $b$ - точка пересечения с осью y. Их графики - прямые линии.
• Квадратичные функции: Функции вида $f(x)=a{x}^2+bx+c$ , где $a$ , $b$ и $c$ - константы, а $a\ne 0$ . Их графики - параболы.
• Полиномиальные функции: Функции, которые являются суммами членов, каждый из которых является константой, умноженной на неотрицательную целую степень $x$ .
• Рациональные функции: Функции, которые являются отношениями двух полиномов, такие как $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ , где $P(x)$ и $Q(x)$ - полиномы.
• Экспоненциальные функции: Функции вида $f(x)=a^x$ , где $a$ - положительная константа, а $a\ne 1$ .
• Логарифмические функции: Функции, которые являются обратными экспоненциальным функциям, такие как $f(x)={\log }_a(x)$ , где $a$ - положительная константа, а $a\ne 1$ .
• Тригонометрические функции: Функции, такие как синус, косинус и тангенс, которые связывают углы треугольника с отношениями его сторон.

Линейные функции

Линейные функции легко распознать по их постоянной скорости изменения (наклону). Они имеют общий вид $f(x)=mx+b$ . Область определения линейной функции - все действительные числа, если только она не ограничена реальным контекстом.

Квадратичные функции

Квадратичные функции, определяемые как $f(x)=a{x}^2+bx+c$ , создают параболическую кривую. Область определения - все действительные числа, но область значений зависит от того, открывается ли парабола вверх (если $a>0$ ) или вниз (если $a<0$ ).

Полиномиальные функции

Это функции, построенные путем сложения членов вида $c{x}^n$ , где $c$ - константа, а $n$ - неотрицательное целое число. Область определения обычно все действительные числа. Например, $f(x)=3x^4-2x^2+x-5$ - это полиномиальная функция.

Рациональные функции

Рациональные функции, выраженные как отношение двух полиномов $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ , требуют тщательного внимания к области определения. Вы должны исключить любые $x$ значения, которые делают знаменатель, $Q(x)$ , равным нулю.

Экспоненциальные функции

Экспоненциальные функции растут (или убывают) быстро. Они имеют вид $f(x)=a^x$ , где $a$ - положительная константа. Область определения - все действительные числа, а область значений - все положительные действительные числа, если $a>0$ .

Логарифмические функции

Логарифмические функции являются обратными экспоненциальным функциям. Общая форма - $f(x)={\log }_a(x)$ . Область определения - все положительные действительные числа (т.е. $x>0$ ), а область значений - все действительные числа.

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и т. д.) являются периодическими и связывают углы с отношениями сторон в треугольниках. Их области определения и области значений могут варьироваться в зависимости от конкретной функции, и они часто демонстрируют повторяющиеся закономерности.

Представление функций

Функции могут быть представлены несколькими способами:

1. Уравнения: Формула, которая определяет связь между входом и выходом, например $f(x)=2x+3$ .
2. Графики: Визуальное представление функции на координатной плоскости.
3. Таблицы: Таблица значений, которая показывает вход и соответствующий выход для определенных значений.
4. Слова: Словесное описание связи между входом и выходом.

Заключение

Понимание функций, их области определения и области значений, а также различных типов функций является важной основой для подготовки к математическому анализу и математики более высокого уровня. Практикуйтесь в определении областей определения и областей значений и ознакомьтесь с характеристиками различных типов функций, чтобы построить прочное понимание этой фундаментальной концепции.